解题思路：（1）要证DE是⊙O的切线，必须证ED⊥OD，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要证AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，又BD⊥AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°．
（1）证明：连接OD，BD．
∵D是圆上一点
∴∠ADB=90°，∠BDC=90°
则△BDC是Rt△，且已知E为BC中点，
∴∠EDB=∠EBD．
又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）连接OD，BD，AE，OE，
∵∠EDO=∠ABC=90°，
若要AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点
，
又∵BD⊥AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
所以当∠CAB为45°时，四边形AOED是平行四边形．
点评：
本题考点： 切线的判定与性质；平行四边形的判定．
考点点评： 本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．