设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a9

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  • 解题思路:由曲线y=xn+1(n∈N*),知y′=(n+1)xn,故f′(1)=n+1,所以曲线y=xn+1(n∈N*)在(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),该切线与x轴的交点的横坐标为xn=[n/n+1],故an=lgn-lg(n+1),由此能求出a1+a2+…+a99

    ∵曲线y=xn+1(n∈N*),

    ∴y′=(n+1)xn,∴f′(1)=n+1,

    ∴曲线y=xn+1(n∈N*)在(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),

    该切线与x轴的交点的横坐标为xn=[n/n+1],

    ∵an=lgxn

    ∴an=lgn-lg(n+1),

    ∴a1+a2+…+a99

    =(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+(lg4-lg5)+(lg5-lg6)+…+(lg99-lg100)

    =lg1-lg100=-2.

    故答案为:-2.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;数列的求和.

    考点点评: 本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.