Question

若函数f（x）满足方程af（x）+f（[1/x]）=ax，x∈R且x≠0，a为常数，且a≠±1，求f（x）的解析式．

Answer 1

解题思路：由已知af（x）+f（[1/x]）=ax…①，以[1/x]代替x，得af（[1/x]）+f（x）=[a/x]…②；由①②组成方程组，求出f（x）的解析式．

∵af（x）+f（[1/x]）=ax…①，且x≠0，

∴af（[1/x]）+f（x）=[a/x]…②；

∴①×a，得

a²f（x）+af（[1/x]）=a²x…③；

③-②，得

（a²-1）f（x）=a²x-[a/x]，

又∵a≠±1，∴a²-1≠0；

∴f（x）=

a2x2−a

a2x−x．

点评：

本题考点： 函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查了求函数定义域的问题，是基础题．