Question

椭圆x^2/a^2+y^2=1,三角形ABC以A(0,1)为直角顶点,B,C在椭圆上,三角形面积最大值为27/8,求a的

Answer 1

已知A点为(0,1)

将坐标系上移到A点,椭圆方程变换为：x2a2+(y-1)2=1 (a＞1)；

将笛卡尔坐标系变换为极坐标系：x=rcosA,y=rsinA得

(rcosA)2a2+(rsinA-1)2=1 (a＞1)；

化简得 r=2sinA/(cosA2/a2+sinA2) 注意A在pi到2pi的范围内.

如此B点为(r,A),则C点为(rc,A+p1/2) 注意A在pi到3pi/2的范围内

s=r*rc/2=[2sinA/(cosA2/a2+sinA2)]*[(2sin(A+pi/2))/(cos(A+pi/2)2/a2+sin(A+pi/2)2)]/2

=-2sinAcosA/[(cosA2/a2+sinA2)*(cosA2+sinA2/a2)]

=-2sinAcosA/(1/a2+sinA2cosA2(1-1/a2)2)