Question

对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式f(x1)+f(x2)2＝

Answer 1

（1）对任意的x₁∈[-1，1]，有-x₁∈[-1，1]，

当且仅当x₂=-x₁时，有

f(x1)+f(x2)

2＝x1+x2+1＝1，

故存在唯一x₂∈[-1，1]，满足

f(x1)+f(x2)

2＝1，

所以1是函数f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”．

（2）当a=0时，f（x）=-2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为-3；

当a≠0时，由f（x）=ax²-2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x₁，

都有唯一的x₂与之对应，从而有f（x）=ax²-2x（1＜x＜2）单调，

故有[1/a≤1或

1

a≥2，

解得a≥1或a＜0或0＜a≤

1

2]，

综上，a的取值范围是a≤

1

2或a≥1．

（3）①当I=（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．

这时函数f（x）的“均值”为[a+b/2]；

②当I为（-∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．

这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；

③当I=（a，+∞）或（-∞，a）或[a，+∞）或（-∞，a]或[a，b）或（a，b]时，

函数f（x）不存在“均值”．

①当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．

这时函数f（x）的“均值”为[a+b/2]；

②当且仅当I为（-∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．

这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；

③当且仅当I形如（a，+∞）、（-∞，a）、[a，+∞）、（-∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一时，

函数f（x）不存在“均值”．