Question

如图，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=4，AD=2，A 1 A=2，点F是棱BC的中点，点E

Answer 1

（1）以DA、DC、DD ₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示．

则A（2，0，0），C（0，4，0），D ₁（0，0，2），

D 1 A =(2，0，-2) ，

D 1 C =(0，4，-2) ． …（2分）

设平面D ₁AC的法向量为

n =（x，y，z），

则

n •

D 1 A =0，

n •

D 1 C =0 ．

即x=z，z=2y．令y=1，则x=z=2．

∴平面D ₁AC的一个法向量

n =（2，1，2）．…（4分）

又平面DAC的一个法向量为

m =（0，0，1）．

故 cos＜

m ，

n ＞=

m •

n

|

m |•|

n | =

2

1×3 =

2

3 ，

即二面角D ₁-AC-D的余弦值为

2

3 ． …（6分）

（2）当λ=

1

3 时，E（0，1，2），F（1，4，0），

EF =(1，3，-2) ．

所以 cos ＜

EF ，

n ＞=

EF •

n

|

EF |•|

n | =

1

14 ×3 =

14

42 ． …（9分）

因为 cos＜

EF ，

n ＞ ＞0，所以 ＜

EF ，

n ＞ 为锐角，

从而直线EF与平面D ₁AC所成角的正弦值的大小为

14

42 ．…（10分）

（3）假设EF⊥EA，则

EF •

EA =0 ．

∵ E(0，

4λ

1+λ ，2)，F(1，4，0) ，

∴

EA =(2，-

4λ

1+λ ，-2) ，

EF =(1，4-

4λ

1+λ ，-2) ． …（12分）

∴ 2-

4λ

1+λ (4-

4λ

1+λ )+4=0 ．化简得3λ ²-2λ+3=0．

该方程无解，所以假设不成立，即直线EF不可能与直线EA不可能垂直．…（14分）