Question

设双曲线的一条准线与两渐近线的两个交点和相应焦点组成等边三角形的三个顶点,则双曲线的离心率是

Answer 1

右准线方程为：x=a^2/c=a/e,一条渐近线方程为：y=bx/a,

渐近线和准线交点A,yA=(b/a)*a/e=b/e,A(a/e,b/e),

A至右焦点距离|AF2|=√[（a/e-c)^2+(b/e)^2],

正三角形关于X轴上下对称,

AF2和X轴夹角为150度,左边补角为30度,

|AF2|=2yA,（直角三角形30度对的边是斜边的一半）,

√[（a/e-c)^2+(b/e)^2]=2b/e,

（a/e-c)^2+(b/e)^2=4b^2/e^2,

a^2/e^2-2ac/e+c^2+b^2/e^2=4b^2/e^2,

a^2-2ace+c^2e^2=3b^2,

a^2-2c^2-c^4/a^2=3c^2-3a^2,

e^4-5e^2+4=0,

(e^2-4)(e^2-1)=0,

e=2,e=1(不合题意,舍去）,

∴e=2.