(2013•房山区二模)如图,ABCD是正方形,DE⊥平面ABCDAF∥DE,DE=DA=2AF=2.

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ) 由题意可得DE⊥AC,AC⊥BD,由线面垂直的判定定理可得;

    (Ⅱ) 设AC∩BD=O,取BE中点G,连结FG,OG,可证AFGO是平行四边形,所以FG∥AO,线面平行的判定定理可得;

    (Ⅲ)可得AB⊥平面ADEF,结合已知数据,代入体积公式可得答案.

    (Ⅰ)证明:因为DE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DE⊥AC.…(1分)

    又因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD,…(2分)

    因为DE∩BD=D…(3分)

    由线面垂直的判定定理可得:AC⊥平面BDE.…(4分)

    (Ⅱ)证明:设AC∩BD=O,取BE中点G,连结FG,OG,

    所以OG∥DE,且OG=[1/2]DE,因为AF∥DE,DE=2AF,

    所以AF∥OG,AF=OG,所以,OG∥[1/2DE,且OG=

    1

    2DE.…(5分)

    因为AF∥DE,DE=2AF,所以AF=OG,且AF∥OG…(6分)

    故可得四边形AFGO是平行四边形,所以FG∥AO.…(7分)

    因为FG⊂平面BEF,AO⊄平面BEF,…(8分)

    所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.…(9分)

    (Ⅲ)因为DE⊥平面ABCD,所以 DE⊥AB

    因为正方形ABCD中,AB⊥AD,所以AB⊥平面ADEF.…(11分)

    因为AF∥DE,DE=DA=2AF=2,

    所以△DEF的面积为

    1

    2×ED×AD=2,

    所以四面体BDEF的体积=

    1

    3S△DEF×AB=

    4

    3].…(14分)

    点评:

    本题考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.

    考点点评: 本题考查直线与平面平行和垂直的判定,涉及四面体体积的求解,属中档题.