解题思路:(Ⅰ) 由题意可得DE⊥AC,AC⊥BD,由线面垂直的判定定理可得;
(Ⅱ) 设AC∩BD=O,取BE中点G,连结FG,OG,可证AFGO是平行四边形,所以FG∥AO,线面平行的判定定理可得;
(Ⅲ)可得AB⊥平面ADEF,结合已知数据,代入体积公式可得答案.
(Ⅰ)证明:因为DE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DE⊥AC.…(1分)
又因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD,…(2分)
因为DE∩BD=D…(3分)
由线面垂直的判定定理可得:AC⊥平面BDE.…(4分)
(Ⅱ)证明:设AC∩BD=O,取BE中点G,连结FG,OG,
所以OG∥DE,且OG=[1/2]DE,因为AF∥DE,DE=2AF,
所以AF∥OG,AF=OG,所以,OG∥[1/2DE,且OG=
1
2DE.…(5分)
因为AF∥DE,DE=2AF,所以AF=OG,且AF∥OG…(6分)
故可得四边形AFGO是平行四边形,所以FG∥AO.…(7分)
因为FG⊂平面BEF,AO⊄平面BEF,…(8分)
所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.…(9分)
(Ⅲ)因为DE⊥平面ABCD,所以 DE⊥AB
因为正方形ABCD中,AB⊥AD,所以AB⊥平面ADEF.…(11分)
因为AF∥DE,DE=DA=2AF=2,
所以△DEF的面积为
1
2×ED×AD=2,
所以四面体BDEF的体积=
1
3S△DEF×AB=
4
3].…(14分)
点评:
本题考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
考点点评: 本题考查直线与平面平行和垂直的判定,涉及四面体体积的求解,属中档题.