如图,四边形ABCD的对角线AC、DB相交于点O,已知:AC=BD,∠OBC=∠OCB.

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  • 解题思路:(1)求出OC=OB,求出AO=DO,根据SAS证△AOB≌△DOC,根据全等三角形的性质推出即可;

    (2)根据等腰三角形性质推出∠OAD=∠ODA,∠OBC=∠OCB,根据三角形的内角和定理和对顶角相等得出∠ADO=∠OBC,推出AD∥BC,得出梯形ABCD,根据AB=DC即可得出等腰梯形ABCD.

    (1)证明:∵∠OBC=∠OCB,

    ∴OB=OC,

    ∵AC=BD,

    ∴OA=OD,

    在△AOB和△DOC中

    OA=OD

    ∠AOB=∠DOC

    OB=OC,

    ∴△AOB≌△DOC(SAS),

    ∴AB=DC.

    (2)四边形ABCD一定是等腰梯形,

    证明:∵OA=OD,OB=OC,

    ∴∠OAD=∠ODA,∠OBC=∠OCB,

    ∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°,∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°,∠BOC=∠AOD,

    ∴∠ADO=∠OBC,

    ∴AD∥BC,

    ∴四边形ABCD是梯形,

    ∵由(1)知:AB=DC,

    ∴梯形ABCD是等腰梯形.

    点评:

    本题考点: 等腰梯形的判定;全等三角形的判定与性质;反证法.

    考点点评: 本题考查了等腰梯形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,平行线的性质和判定,三角形的内角和定理等知识点,主要考查了学生的推理能力,题目比较好,是一道综合性比较强的题目.