Question

在两个各项均为正数的数列a n 、b n （n∈N * ）中，已知a n 、b n 2 、a n+1 成等差数列，并且b

Answer 1

（I）由题意知

2 b n 2 = a n + a n+1

a n+1 2 = b n 2 • b n+1 2 ，

又∵数列a _n、b _n各项都是正数，∴a _n+1=b _nb _n+1，则a _n=b _n-1b _n

代入2b _n ²=a _n+a _n+1，得2b _n ²=b _n-1b _n+b _nb _n+1

即2b _n=b _n-1+b _n+1，所以数列b _n是等差数列．

（II）∵a ₁=2，a ₂=6，又2b _n ²=a _n+a _n+1，得2b ₁ ²=a ₁+a ₂=8，解得b ₁=2

又∵a ₂=b ₁b ₂=6∴b ₂=3，由（I）知数列b _n是等差数列，则公差d=b ₂-b ₁=1

∴b _n=b ₁+（n-1）d=2+n-1=n+1，

又a _n=b _n-1b _n，得a _n=n（n+1）=n ²+n，

∴ c n =( a n - n 2 )• q b n =n q n+1 ，

则当q=1时，c _n=n，此时 S n =

n(n+1)

2 ；

当q≠1时，S _n=c ₁+c ₂++c _n=1×q ²+2×q ³++nq ⁿ⁺¹，①

所以qS _n=qc ₁+qc ₂++qc _n=1×q ³+2×q ⁴++nq ⁿ⁺²②

由①-②，得 (1-q) S n = q 2 + q 3 + q n+1 -n q n+2 =

q 2 (1- q n )

1-q -n q n+2 ，

即 S n =

q 2 (1- q n )

(1-q) 2 -

n q n+2

1-q

综上可知， S n =

n(n+1)

2 ，(q=1)

q 2 (1- q n )

(1-q) 2 -

n q n+2

1-q ，(q≠1)