解题思路：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-1），代入C的方程，并整理得（2-k2）x2+2（k2-2k）x-k2+4k-6=0，然后进行分类讨论，把直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题进行求解．
（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），则2x12-y12=2，2x22-y22=2两式相减得．2（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2），再由点差法进行求解．
（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-1），代入C的方程，
并整理得（2-k2）x2+2（k2-2k）x-k2+4k-6=0 （*）
（ⅰ）当2-k2=0，即k=±
2时，方程（*）有一个根，l与C有一个交点
（ⅱ）当2-k2≠0，即k≠±
2时
△=[2（k2-2k）]2-4（2-k2）（-k2+4k-6）=16（3-2k）
①当△=0，即3-2k=0，k=[3/2]时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点．
②当△＞0，即k＜[3/2]，又k≠±
2，
故当k＜-
2或-
2＜k＜
2或
2＜k＜[3/2]时，方程（*）有两不等实根，l与C有两个交点．
③当△＜0，即k＞
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题．第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法--“点差法”，涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化．具体涉及到二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式．易错点：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论．第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了．