这是凑微分方法,属于隐式换元积分法.(Implicit substitution)
外面移入d里面,是积分法则
从d里面移出来,是微分法则
f'(x) dx = d[∫ f'(x) dx] = d[f(x) + C] = d[f(x)],积分运算
或者 [df(x)/dx] dx = d[f(x)] (dx/dx) = d[f(x)]
d[f(x)] = d[f(x)]/dx dx = f'(x) dx,微分运算
微分,常数可以任意加减：
d[f(x)] = d[f(x) + 4] = d[f(x) + e] = d[f(x) + π/8],因为常数的微分是0,而0的积分是任意常数
例子：∫ cos(x + 6) dx = ∫ cos(x + 6) d(x + 6),见到d里面由x变为x + 6吗?
原本是对x积分,变为对x + 6积分
但常数的乘除则要抵消,即
(先乘以一个常数,再除以该个常数 或 先除以一个常数,再除以该个常数)
d[h(x)] = d[9h(x)/9] = (1/9)d[9h(x)],要乘以一个9,则外面要除以一个9
d[h(x)/π * π] = π • d[h(x)/π],要除以一个π,则外面要乘以一个π
∫ cos(3x) dx = ∫ cos(3x) d(3x/3) = ∫ cos(3x) • (1/3) d(3x) = (1/3)∫ cos(3x) d(3x)
所以有公式∫ cos(kx) dx = (1/k)sin(kx),∫ e^(kx) dx = (1/k)e^(kx)
如果是这样的形式：∫ cos(2x + 3) dx
先进行乘除法：∫ cos(2x + 3) d(2x/2) = (1/2)∫ cos(2x + 3) d(2x),先凑出2x
再进行加减法：= (1/2)∫ cos(2x + 3) d(2x + 3),再加个3,凑出2x + 3
这个形式如同∫ cosy dy
如果是这样的形式：∫ x√(x² + 1) dx,观察见到x的积分是x²/2,可凑成x² + 1
于是将x积分进d里：= ∫ √(x² + 1) d(x²/2) = (1/2)∫ √(x² + 1) d(x²)
再加个1：= (1/2)∫ √(x² + 1) d(x² + 1)
这个形式如同(1/2)∫ √u du
其实凑微分只是为了计算一些比较简单的代入时用的方法,过程会快很多
以上的过程如果用显式代入法(explicit substitution)便会一目了然.
显式代入法会显示代入过程,即：
令u = 3x + 4,du = 3 dx,之后函数里面的x就会全部变为u了
用隐式换元法和显式换元法做以下例子：
∫ cos(1 + 2x) dx,用隐式换元法
= ∫ cos(1 + 2x) d(2x)/2
= (1/2)∫ cos(1 + 2x) d(2x + 1)
= (1/2)sin(1 + 2x) + C
∫ cos(1 + 2x) dx,用显式换元法
令u = 1 + 2x,du = 2dx => dx = (1/2)du
原式= ∫ cos(u) • (1/2)du
= (1/2)∫ cos(u) du
= (1/2) • sin(u) + C
= (1/2)sin(1 + 2x) + C,将u = 1 + 2x代回