首先,正弦交流电的有效值是指与它做功能力等效的直流电的数值.即在相同时间内,一个直流电压和电流和一个交流电压和电流在同一电阻上产生的热量相等时,我们就把这个直流电压和电流称为对应的交流电压和电流的有效值.所以,此问题应从做功角度去推导.
设有一个纯电阻电路,电阻为R,正弦交流电的电压瞬时值为u=Um*sinωt,电流瞬时值为i=Im*sinωt.
1、求瞬时功率,
功率p=u*u/R=Um*Um*sinωt*sinωt/R=1/2*Um*Um*（1-cos2ωt)/R.
2、计算此式在一个周期T的时间内所做的功：
假如时间变化一个无限小增量dt,我们得到在dt时间内交流电所做的功为:
dw=p*dt=Um*Um*sinωt*sinωt*dt/R
=1/2*Um*Um/R*（1-cos2ωt)*dt;
再求交流电在一个周期T内所做的功:
dw对时间积分,下限是0,上限是T得:
功W=int(0-T)p*dt=int(0-T)(1/2*Um*Um*（1-cos2ωt)*dt)/R=1/2R*Um*Um*int(0-T)dt+1/2R*Um*Um*int(0-T)cos2ωt*dt;
其中,int表示积分,（0-T）为积分限.
此式右边积分为零,我们得到：
W=1/2R * Um*Um*T.
此式的物理意义是：1/2*Um*Um是一个常数,在电学上就是一个直流分量,而交流分量在一个周期内的积分是零,是因为波形上下对称.
3、求平均功率,就得到与它等效的直流电,即电压有效值和电流有效值了：
P=W/T=1/2R * Um*Um.
令：U为对应的等效直流电压,即U*U/R=1/2*Um*Um/R.所以我们得到:U=√2/2 * Um；
同理,P=i*i*R=Im*Im*R*sinωt*sinωt=1/2*Im*Im*R*(1-cos2ωt);
W=int(0-t)P*dt=1/2*Im*Im*R*T
平均功率P=W/T=1/2*Im*Im*R.令：I*I*R=1/2 * Im*Im*R,我们得到：
I=√2/2 * Im.
为什么可以只取一个周期来求呢?因为交流电的每个周期都是完全一样的,我们求出其中一个周期的平均值,就等于求出了所有时间的平均值了.
够详细了吧?再不明白我也没招了哈.