Question

已知A,B为锐角且3(sinA)^2+2(sinB)^2=1,3sin2A-2sin2B=0.求证：A+2B=90度

Answer 1

因为3(sinA)^2=1-2(sinB)^2=cos2B

3sin2A/2=sin2B

(cos2B)^2+(sin2B)^2=1

所以[3(sinA)^2]^2+(3sin2A/2)^2=1

-->9(sinA)^4+9(sinAcosA)^2=1

-->9(sinA)^4+9(sinA)^2[1-(sinA)^2]=1

设(sinA)^2=t,则9t^2+9t(1-t)=1,

解得t=1/9,从而sinA=1/3,cosA=2*根号2/3.

因为2B∈(0,2π)且cos2B=3(sinA)^2=1/3>0,所以2B∈(0,π).

因为A∈(0,π/2),所以(π/2-A)∈(0,π/2).

由cos2B=sinA=cos(π/2-A)且余弦函数在(0,π/2)有单调性,

可得2B=π/2-A

即A+2B=π/2.证毕.