Question

如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．

Answer 1

解题思路：根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ；设PA=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形．

（1）猜想：AP=CQ，

证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，

∴∠ABP=∠QBC．

又AB=BC，BP=BQ，

∴△ABP≌△CBQ，

∴AP=CQ；

（2）由PA：PB：PC=3：4：5，

可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，

连接PQ，在△PBQ中

由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，

∴△PBQ为正三角形．

∴PQ=4a．

于是在△PQC中

∵PQ²+QC²=16a²+9a²=25a²=PC²

∴△PQC是直角三角形．

点评：

本题考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．

考点点评： 此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用．