如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.

4个回答

  • 解题思路:根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ,从而得到AP=CQ;设PA=3a,PB=4a,PC=5a,由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a,再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形.

    (1)猜想:AP=CQ,

    证明:∵∠ABP+∠PBC=60°,∠QBC+∠PBC=60°,

    ∴∠ABP=∠QBC.

    又AB=BC,BP=BQ,

    ∴△ABP≌△CBQ,

    ∴AP=CQ;

    (2)由PA:PB:PC=3:4:5,

    可设PA=3a,PB=4a,PC=5a,

    连接PQ,在△PBQ中

    由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°,

    ∴△PBQ为正三角形.

    ∴PQ=4a.

    于是在△PQC中

    ∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2

    ∴△PQC是直角三角形.

    点评:

    本题考点: 等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理的逆定理.

    考点点评: 此题考查学生对等边三角形的性质,直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用.