A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,所以A选项错误;
B、对角线相等的平行四边形是矩形,所以B选项错误;
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以C选项错误;
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形,所以D选项正确.
故选D.