Question

半径为2,四分之一圆内接矩形的最大面积是多少?弧上有两点,还有两点在半径上

Answer 1

连接圆心O和EF边中点H,因为OH是直径,而H是弦EF中点,所以OH垂直平分EF,而CD∥EF,所以OH也垂直平分CD,因此OC=OD.过E作OB的垂线,垂足为K,所以EK=DK.设CD=x,DE=y,则OD=x/√2,DK=y/√2所以有(OB-OK)*(OB+OK)=EK^2（圆内相交弦的性质）即是[2-(x+y)/√2][2+(x+y)/√2]=(y/√2)^2化简得x^2+2xy+2y^2-8=0因为0＜x＜2√2设t=xy,y=t/x代入上式,化成x的方程得到(x^2)^2-2(4-t)x^2+2t^2=0这是关于x^2的方程,0＜x^2＜8上述方程△≥0,即有4(4-t)^2-8t^2≥0 4-t≥√2t 故t≤4(√2-1)即面积最大值为4(√2-1)