Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S10=0，且Sn≥-5对一切n∈N*恒成立，则此等差数列{an}公差d的取值范围

Answer 1

解题思路：设出等差数列{a_n}的首项，由S₁₀=0得到首项和公差的关系，把等差数列的前n项和用含有公差d和n的代数式表示，再由关于n的函数对一切n∈N^*恒成立列式求得d的取值范围．

设等差数列{a_n}的首项为a₁，

由S₁₀=0，得10a1+

10×(10−1)d

2＝10a1+45d＝0，

∴a1＝−

9

2d．

由S_n≥-5，得：

na1+

n(n−1)d

2=−

9d

2n+

d

2n2−

d

2n=[d/2n2−5dn≥−5．

由S_n≥-5对一切n∈N^*恒成立，

得dn²-10dn+10≥0对一切n∈N^*恒成立，

∴d≥0且△≤0，

即100d²-40d≤0．

解得0≤d≤

2

5]．

∴公差d的取值范围是[0，[2/5]]．

故选：B．

点评：

本题考点： 等差数列的前n项和．

考点点评： 本题考查等差数列的前n项和，考查了数列的函数特性，训练了利用二次不等式恒成立的条件求解参数的范围，是中档题．