答：
因为：AD是球的直径,点B在球上
所以：∠ABD=90°
ΔABD中,AB=BD=1
所以：ΔABD是等腰直角三角形
所以：AD=√2AB=√2
BC中点为E,连接AE、DE
正三角形BCD中：DE⊥BC,DE=BDsin60°=√3/2
正三角形ABC中：AE⊥BC,AE=ABsin60°=√3/2
所以：BC垂直平面ADE,DE=AE
等腰三角形ADE中：AE=DE=√3/2,AD=√2
所以：AD边上的高为√[(√3/2)^2-(√2/2)^2]=1/2
所以：S三角形ADE=√2*（1/2）/2=√2/4
所以三棱锥体积V=V三棱锥B-ADE+V三棱锥C-ADE
=S三角形ADE*BC/3
=(√2/4)*1/3
=√2/12