Question

求幂级数∑x^n/n*2^n的收敛区间?

Answer 1

幂级数{An},通项An=x^n/n*2^n ,

后项比前项得:

Limit[A[n]/A[n-1],n→+∞]=

Limit[x(n-1)/(2n),n→+∞]=

Limit[x/2,n→+∞]=

x/2,

令x/2≤1得,收敛半径为x=2,

然后对于边界上情况,|x/2|=1对应的x=±2分别讨论,

当x=2时,

原级数变为A[n]=2^n/(2^n*n)=1/n,此为调和级数,发散.

当x=-2时,

原级数变为A[n]=(-2)^n/(2^n*n)=(-1)^n/n,此为交错级数,

对于交错级数只需要后项的绝对值小于前项的绝对值就收敛,所以该级数收敛.

所以收敛区间为x∈[-2,2),即-2≤x＜2.