解题思路:(1)把函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R)满足:f(-1)=0,代入可以求得a与b的关系式,再根据对任意实数x均有f(x)≥0成立,可以求出a与b的关系式;
(2)由(1)求出f(x)的解析式,已知a,b的值,可以代入求得函数ϕ(x)=ax2+btx+1,配方法求出函数ϕ(x)的最值;
(1)函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R)满足:f(-1)=0,可得a-b+1=0,可得b=a+1
∵对任意实数x均有f(x)≥0成立,
∴ax2+bx+1=ax2+(a+1)x+1≥0,恒成立,
∴
a>0
△≤0解得(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,
∴a=1,b=2;
故答案为:a=1,b=2…(6分)
(2)当x∈[-2,2]时,求函数ϕ(x)=ax2+btx+1=x2+2tx+1=(x+t)2+1-t2,
函数的对称轴为x=-t,
当t≤0时,-t≥0,f(x)在(-2,-t)上为减函数,
f(x)在x=-2处取得最大值,g(x)max=g(-2)=5-4t;
当t>0时,在x=2处取得最大值,g(x)max=g(2)=5+4t;
函数ϕ(x)=ax2+btx+1的最大值g(t).
∴g(t)=
5−4t
t≤0
5+4t
t>0…(12分)
点评:
本题考点: 二次函数的性质.
考点点评: 此题主要考查二次函数的性质以及函数的恒成立问题,考查的知识点比较单一,是一道基础题;