证明:在所有周长一定的四边形中,正方形的面积最大.

2个回答

  • 很严格的证明一时也想不出,姑且这样证吧:

    设四个边按顺时针分别是abcd

    (1)在等周时面积最大的四边形应有以下性质:a=b,c=d

    证:假定面积最大的四边形不满足此条件,即a≠b,c≠d.用一个对角线把这个四边形分成两个三角形,a,b和c,d各在一个三角形中.利用海伦公式和均值不等式很容易证明,如果令a'=b',c'=d',则新的四边形比原有的要大,与假设矛盾.这样就证明了(1)

    (2)利用(1),容易证明面积最大的四边形应满足a=b=c=d,或者说这个四边形是一种菱形

    证明法同1类似

    (3)容易证明在满足(2)的菱形中,有一个角是直角时面积最大,因此这个菱形是正方形.

    综上,周长相等的四边形中,正方形面积最大.