Question

四面体ABCD中AB垂直于CD,AC垂直于BD,G、H分别是三角形ABC和三角行ACD的重心求证1、AD垂直BC2、GH

Answer 1

证明：

（1）设A在平面BCD的射影为O,连接BO交CD于E,连接AE

连接CO交BD于F,连接AF

连接DO交BC于M,连接AM

∵AO⊥面BCD,AB⊥CD,

∴BE⊥CD（射影定理）

同理可得CF⊥BD

∴O是⊿BCD的垂心

∴DM⊥BC

又∵AO⊥面BCD

∴AD⊥BC（射影定理）

（2）连接AG交BC于N,连接AH交CD于P,连接NP

∵G、H分别是⊿ABC和⊿ACD的重心

∴N、P分别是BC和CD的中点,AG/AN=AH/AP=2/3

∴NP//BD,GH//NP

∴GH//BD