Question

求所有的正整数x,y,使x²+3y,y²+3x均为完全平方数.

Answer 1

首先x=1,y=1是解.

除此外,若有x=y的话,则x(x+3)=(x+1)^2 解得 x=1 矛盾 【注,∵x^2 < x(x+3) < (x+2)^2,x(x+3)要是一个平方数一定会等于(x+1)^2,这个思路贯穿了整个解法.】

所以x≠y,不妨设x>y

则x^2+3y=3

∴y^2+3x=y^2+1.5(3y-1)=y^2+4.5y-1.5 ∴令y=2k+1

y^2+3x=(4k^2+4k+1)+9k+3=(4k^2+13k+4)