解题思路：除以5余3，则末尾数字为3或8，则符合的数为：3、8、13、18、23、28、33、38…，然后去掉3和7的倍数以及除以3余1的数，再找出除以7余4的数，解决问题．
除以5余3，则末尾数字为3或8，则符合的数为：3、8、13、18、23、28、33、38…
去掉3和7的倍数：8、13、23、38、43、53、58、68…
去掉除以3余1的：23、38、43、53、68…
其中除以7余4的是：53
则符合条件的最小自然数为53．
故答案为：53．
点评：
本题考点： 最大与最小．
考点点评： 此题也可这样解答：满足除以3余2，为3N+5；
满足除以5余3，且能被3N+5整除，最小为8，满足8+15N；
满足除以7余4，且能被15N+8整除，N取3，最小为53．