Question

已知圆M：x2+y2-4x+2y+c=0与y轴交于A，B两点，圆心为M，且∠AMB=90°．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用△AMB为等腰直角三角形，可求c的值；

（Ⅱ）求出E，F的坐标，利用动点H到E，F两点的距离的比为λ（λ＞0），可得轨迹方程．

（Ⅰ）圆M：x²+y²-4x+2y+c=0可化为（x-2）²+（y+1）²=5-c，

∵∠AMB=90°，

∴△AMB为等腰直角三角形，

∴5-c=8，

∴c=-3；

（Ⅱ）直线x+y-1=0代入x²+y²-4x+2y-3=0，∵x_E＜y_F，∴E（0，1），F（4，-3）．

设H（x，y），则

|HE|²=x²+（y-1）²，|HF|²=（x-4）²+（y+3）²，

∵动点H到E，F两点的距离的比为λ（λ＞0），

∴（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+8λ²x-（2+6λ²）y+1-25λ²=0，

λ=1时，方程为x-y-3=0，轨迹为线段EF的垂直平分线，

λ≠1时，方程表示以（-

4λ2

1−λ2，

1+3λ2

1−λ2）为圆心，

4

2λ

|1−λ2|为半径的圆．

点评：

本题考点： 轨迹方程；直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．