解题思路:(1)求导函数,令导数大于0,可得函数的单调增区间;令导数小于0,可得函数的单调减区间,从而可得函数的极值;
(2)将条件转化为不等式,利用函数的单调性确定函数的最值,进而可得不等式组,由此可求a的取值范围.
(1)求导函数可得f′(x)=-x2+4ax-3a2,令f′(x)>0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a).
令f′(x)<0,得f(x)的单调递减区间为(-∞,a)和 (3a,+∞);
∴当x=a时,f(x)极小值=−
4
3a3+b;当x=3a时,f(x)极大值=b.
(2)由|f′(x)|≤a,得-a≤-x2+4ax-3a2≤a.①
∵0<a<1,∴a+1>2a.
∴f′(x)=-x2+4ax-3a2在[a+1,a+2]上是减函数.
∴f′(x)max=f′(a+1)=2a-1,f′(x)min=f(a+2)=4a-4.
于是,对任意x∈[a+1,a+2],不等式①恒成立等价于
−a≤4a−4
a≥2a−1] 解得
4
5≤a≤1
又0<a<1,∴
4
5≤a<1
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查函数的最值,考查恒成立问题,正确运用函数的单调性是解题的关键.