Question

抛物线y^2=x,有一条长为2的线段AB的两端AB分别在抛物线上移动,求线段AB中点M的轨迹方程（要过程）

Answer 1

设A（x1,y1）B（x2,y2）中点M（x,y）

则x1=y1^2

x2=y2^2

x1+x2=2x

y1+y2=2y → y1^2+y2^2+2y1y2=4y^2

→ 2x+2y1y2=4y^2

→2y1y2=4y^2-2x

长为2,则

(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=4

(y1+y2)^2(y1-y2)^2+(y1-y2)^2=4

(y1-y2)^2(4y^2+1)=4

【(y1+y2)^2-4y1y2】(4y^2+1)=4

(4y^2-8y^2+4x)(4y^2+1)=4

(x-y^2)(4y^2+1)=1

中点M的轨迹方程为

(x-y^2)(4y^2+1)=1