已知椭圆C1的方程为x^2/4+y^2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的

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  • 设双曲线C2的方程为:x²/a’²-y²/b’²=1.

    ∵椭圆C1的方程为x²/4+y²=1

    ∴a=2,b=1

    ∴c²=a²-b²=3,即c=√3

    又∵双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左右焦点.

    ∴a’=c=√3,c’=a=2

    ∴b’²=c’²-a’²=1,即b’=1

    ∴双曲线C2方程为:x²/3-y²=1(x≥|2|);

    (2)直线y=kx+√2,双曲线x²/3-y²=1

    两个方程联立,并化简,得:

    (1-3k²)x²-6√2kx-9=0,

    ∵直线y=kx+√2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B

    ∴△=(-6√2k)²-4*(1-3k²)*(-9)>0

    即k²+1>0,

    设A(x1,y1),B(x2,y2)

    则有x1+x2=6√2k/(1-3k²),x1*x2=-9/(1-3k²)

    ∴y1*y2=(kx1+√2)(kx2+√2)

    =k²x1x2+√2k(x1+x2)+2

    =-9k²/(1-3k²)+12k²/(1-3k²)+2

    =(2-3k²)/(1-3k²)

    OA*OB=x1x2+y1y2

    =-9/(1-3k²)+(2-3k²)/(1-3k²)

    ==(3k²+7)/(3k²-1)>2

    ∴-√3<k<√3

    故k的范围为:-√3<k<√3.