Question

（2013•鄞州区模拟）对于二次函数C：y=[1/2]x2-4x+6和一次函数l：y=-x+6，把y=t（[1/2]x2

Answer 1

解题思路：（1）联立二次函数C与一次函数l的解析式，消掉y得到关于x的一元二次方程，解方程再求出相应的y的值，即可得到A、B的坐标，然后把点A、B的坐标代入抛物线E的解析式进行验证即可；

（2）根据抛物线E必过定点A、B，代入二次函数y=-x²+5x+5进行验证即可；

（3）设抛物线E截x轴的线段长为a，先利用三角形的面积求出a的长，再根据点B的坐标求出与x轴的另一交点的坐标，然后代入抛物线求解即可得到t的值，从而得解．

（1）联立

y＝

1

2x2−4x+6

y＝−x+6，

消掉y得，[1/2]x²-4x+6=-x+6，

整理得，x²-6x=0，

解得x₁=0，x₂=6，

∴y₁=6，y₂=-6+6=0，

∴点A（0，6），B（6，0），

当x=0时，y=t（[1/2]×0²-4×0+6）+（1-t）（-0+6）=6t+6-6t=6，

当x=6时，y=t（[1/2]×6²-4×6+6）+（1-t）（-6+6）=0，

∴点A、B在抛物线E上；

（2）∵抛物线E一定经过点A、B，

而对于二次函数y=-x²+5x+5，当x=0时，y=5≠6，

∴二次函数y=-x²+5x+5不是二次函数y=[1/2]x²-4x+6和一次函数y=-x+6的一个“再生二次函数”；

（3）由（1）得，抛物线E与x轴的一个交点为B，与y轴的交点为A，

设抛物线E截x轴的线段长为a，则S=[1/2]a×6=6，

解得a=2，

所以，与x轴的另一个交点为（4，0）或（8，0），

点（4，0）代入抛物线E得，t（[1/2]×4²-4×4+6）+（1-t）（-4+6）=0，

解得t=[1/2]，

此时y=[1/2]（[1/2]x²-4x+6）+（1-[1/2]）（-x+6）=[1/4]x²-[5/2]x+6，

点（8，0）代入抛物线E得，t（[1/2]×8²-4×8+6）+（1-t）（-8+6）=0，

解得t=[1/4]，

此时，y=[1/4]（[1/2]x²-4x+6）+（1-[1/4]）（-x+6）=[1/8]x²-[7/4]x+6．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数综合题型，主要利用了联立两函数解析式求交点坐标，验证点是否在二次函数图象上，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，读懂题目信息，理解“再生二次函数”的定义是解题的关键．