如图1,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F,EC和DF相等吗?说明理由.

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  • 解题思路:(1)如图1,作OM⊥EF于M点,根据垂径定理得CM=DM,再利用AE⊥CD,BF⊥CD得AE∥OM∥BF,可判断OM为梯形ABFE的中位线,所以EM=FM,于是得到EC=DF;

    (2)如图2,与(1)一样可得CM=DM,EM=FM,则EC=DF;

    (3)如图3,当EF∥AB时,与(1)一样可证得EC=DF;

    (4)如图4,作OM⊥EF于M点,根据垂径定理得CM=DM,再证明OM为梯形CDFE的中位线,则OE=OF,易得AE=BF.

    (1)如图1,EC和DF相等.理由如下:

    作OM⊥EF于M点,则CM=DM,

    ∵AE⊥CD,BF⊥CD,

    ∴AE∥OM∥BF,

    而OA=OB,

    ∴OM为梯形ABFE的中位线,

    ∴EM=FM,

    ∴EM-CM=FM-DM,

    即EC=DF;

    (2)结论不改变.如图2,与(1)一样可得CM=DM,EM=FM,

    则CM-EM=DM-FM,

    即EC=DF;

    (3)如图3,当EF∥AB时,与(1)一样可证得EC=DF;

    (4)如图4,作OM⊥EF于M点,则CM=DM,

    ∵EC⊥CD,FD⊥CD,

    ∴CE∥OM∥DF,

    ∴OM为梯形CDFE的中位线,

    ∴OE=OF,

    ∴OA-OE=OB-OF,

    即AE=BF.

    点评:

    本题考点: 垂径定理;梯形中位线定理.

    考点点评: 本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了梯形的中位线定理.