Question

（1997•福州）已知：如图，PM是⊙O的切线，M为切点，PAB和PCD均是⊙O的割线，它们与⊙O的交点分别为A、B、C

Answer 1

证明：（1）连接AC，

∵AB•PD=BC•AD，

∴[AB/BC]=[AD/PD]，

又∵∠PDA=∠PBC，

∴△DAP∽△BAC，

∴∠DAP=∠BAC；

（2）由（1）∠DAP=∠BAC．

又∵∠PAC=∠PAD-∠CAD．

∠BAD=∠BAC-∠CAD．

∴∠PAC=∠BAD，

而四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ACP=∠DBA．

∴△PAC∽△DAB；

（3）由（2）△PAC∽△DAB，

∴[PA/AC]=[AD/AB]，

∴PA•AB=AC•AD

又AB=PB-PA，

∴PA•AB=PA（PB-PA）=AC•AD，

即PA•PB-PA²=AC•AD，

又PM为⊙O的切线，PAB为⊙O的割线．

∴PM²=PA•PB，

∴PM²-PA²=AC•AD．