Question

在三角形ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,M点是三角形ABD内任意一点,连接AM,BM,CM.判断∠AMB与∠AM

Answer 1

判断：∠AMB＞∠AMC.

证明：

∵AB=AC,∴三角形ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C

又：AD⊥BC

∴AD是BC边上的高和中线,而且是∠A的平分线

∴∠BAD=∠CAD

∠BAM=∠BAD-∠MAD,∠CAM=∠CAD+∠MAD

∴∠BAM＜∠CAM .（1）

延长AM与BC交于E,做MF⊥BC于F

BF=BD-FD,CF=CD+FD,BD=CD

∴BF＜CF

tan∠MBF=MF/BF,tan∠MCF=MF/CF

tan∠MBF＞tan∠MCF

∠MBF＞∠MCF

∠B=∠C

∠ABM=∠B-∠MBF,∠ACM=∠C-∠MCF,

∴∠ABM＜∠ACM .（2）

∠AMB=180°-∠BAM-∠ABM,∠AMB=180°-∠CAM-∠ACM

∴∠AMB＞∠AMB