Question

三棱锥A-BCD的棱长都相等,E,F分别是棱AB,CD的中点,设α为EF与AC 所成的角,β为EF与BD所成的角,则α+

Answer 1

作BC中点G、连结EG、FG、AF、BF,

∵E、F、G分别是AB、CD、BC中点,∴EG∥AC,同理,FG∥DB,

∴EF与AC夹角=∠GEF=α,EF与BD夹角=∠GFE=β,

又EG=1/2AC=1/2,GF=1/2BD=1/2,

设三棱锥棱长为1,则AE=1/2,AF=BF=√3/2,EF⊥AB,

Rt△AEF中,EF=√(AF^2-AE^2)=√((√3/2)^2-(1/2)^2)=√2/2,

△GEF中,GE^2+GF^2=(1/2)^2+(1/2)^2=1/2,EF^2=(2/2)^2=1/2,

∴GE^2+GF^2=EF^2,∴∠EGF=Rt∠,∴α+β=90°,解毕.