解题思路：由于这个不等于1的正整数，除1773、1888、1957、2003，得到相同的余数，根据同余定理可知，将1773、1888、1957、2003相邻两数两两相减，它们的差的最大公约数就是这个正整数．
1888-1773=115，
1957-1888=69，
2003-1957=46；
（115，69，46）=23；
23=1×23，由于该正整数不是1，
所以它是只能是23．
故答案为：23．
点评：
本题考点： 同余定理．
考点点评： 此为同余问题的基本解法即：将几个具有相同余数的数两两相减，它们差的最大公约数即是这几个数的共同的除数．