Question

数列{1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2n-1）}的前n项和为______．

Answer 1

解题思路：先求出1+2+…+2^n-1=2ⁿ-1，再用分组求和法求出1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2^n-1）=2ⁿ⁺¹-2-n．由此能求出数列{1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2^n-1）}的前n项和．

∵1+2+…+2^n-1=

1−2n

1−2=2ⁿ-1，

∴1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2^n-1）

=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n

=

2(1−2n)

1−2-n

=2ⁿ⁺¹-2-n．

∴数列{1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2^n-1）}的前n项和：

S_n=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-2n-（1+2+3+…+n）

=

4(1−2n)

1−2-2n-

n(n+1)

2

=2n+2−

n2+5n

2-4．

故答案为：2n+2−

n2+5n

2-4．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．