Question

等腰直角三角形ABC中,角C是直角,CA等于CB,P、Q是AB上任意两点,角PCQ等于45度,求证：PQ平方等于AP乘Q

Answer 1

求证的结论应该是：PQ^2=PA^2+QB^2.（只要通过测量就能知结论“PQ平方等于AP乘QB”不成立.）

如图,在∠PCQ内作线段CD=CA=CB,且∠DCP=∠ACP.

因∠PCQ=45度,∠ACB=90度,所以∠PCA+∠BCQ=45度,∠DCQ=∠BCQ.

所以△PCA与△PCD全等,△QCB与△QCD全等,

所以PA=PD,QB=QD,∠PDC=∠A=45度,∠QDC=∠B=45度,

所以∠PDQ=90度,PQ^2=PD^2+QD^2,从而PQ^2=PA^2+QB^2.