Question

已知函数f（x）=ex-ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．（1）若对函数f（x）存在极小值，且极小值为0，

Answer 1

（1）∵f（x）=e^x-ax，∴f′（x）=e^x-a，

当a≤0时，f′（x）＞0，函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；

当a＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，∴x=lna为函数的极小值点，

由已知，f（lna）=0，即lna=1，∴a=e；

（2）不等式f（x）≥e^x（1-sinx），即e^xsinx-ax≥0，

设g（x）=e^xsinx-ax，则g′（x）=e^x（sinx+cosx）-a，g″（x）=2e^xcosx，

x∈[0，[π/2]]时，g″（x）≥0，则g′（x）在x∈[0，[π/2]]时为增函数，∴g′（x）=g′（0）=1-a．

①1-a≥0，即a≤1时，g′（x）＞0，g（x）在x∈[0，[π/2]]时为增函数，∴g（x）_min=g（0）=0，此时g（x）≥0恒成立；

②1-a＜0，即a＞1时，存在x₀∈[0，[π/2]]，使得g′（x₀）＜0，从而x∈（0，x₀）时，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，x₀]上是减函数，

∴x∈（0，x₀）时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意．

综上，a的取值范围是（-∞，1]．