Question

对于任意k∈[-1，1]，函数f（x）=x2+（k-4）x-2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解．

∵任意k∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（k-4）x-2k+4＞0，恒成立，

∴f（k）=k（x-2）+x²-4x+4＞0为一次函数，

∴

f(−1)＞0

f(1)＞0，

∴-1（x-2）+x²-4x+4＞0，

（x-2）+x²-4x+4＞0，

解得x＜1或x＞3，

故答案为（-∞，1）∪（3，+∞）．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 此题是一道常见的题型，把关于x的函数转化为关于k的函数，构造一次函数，因为一次函数是单调函数易于求解，最此类恒成立题要注意．