Question

已知△ABC三内角A、B、C所对边分别为a，b，c面积为S且满足2S=c2-（a-b）2和a+b=2．

Answer 1

解题思路：（1）由正弦定理关于面积的公式代入题中等式化简整理，可得a2+b2-c2=ab（2-sinC），再结合余弦定理代入得2-sinC=2cosC，结合同角三角函数的平方关系即可解出sinC=45；（2）由基本不等式，得ab≤（a+b2）2=1，再用正弦定理关于面积的公式即可求出当且仅当a=b=1时，△ABC面积S的最大值为25．

（1）根据题意，得

∵S=[1/2]absinC，且2S=c²-（a-b）²
∴c²-（a-b）²=absinC，化简得a²+b²-c²=ab（2-sinC）

∵根据余弦定理，得a²+b²-c²=2abcosC，

∴2-sinC=2cosC，与sin²C+cos²C=1消去cosC，

得[5/4]sin²C-sinC=0，

∵C是三角形内角，得sinC是正数

∴[5/4]sinC-1=0，解之得sinC=[4/5]；

（2）∵边a、b满足a+b=2

∴ab≤（[a+b/2]）²=1，得ab的最大值为1（当且仅当a=b=1时取等号）

因此，△ABC面积S=[1/2]absinC≤[1/2]sinC=[2/5]

∴当且仅当a=b=1时，△ABC面积S的最大值为[2/5]

点评：

本题考点： 余弦定理；三角形的面积公式．

考点点评： 本题给出三角形ABC满足的边角关系，求sinA的值并求三角形面积的最大值，着重考查了利用正余弦定理解三角形、基本不等式求最值和同角三角函数的关系等知识，属于基础题．