Question

已知函数f（x）满足方程f″（x）+f′（x）-2f（x）=0及f′（x）+f（x）=2ex．

Answer 1

解题思路：此题的第一问相当于是解二阶常系数其次线性微分方程，用特征方程法．第二问，要求拐点，我们得先把第一问求出来的f（x）代入到y，然后求y'和y''，再令y''=0，求出二阶导数为零的点，再判断各自区间二阶导数的符号，即可求出拐点．

（1）∵f″（x）+f'（x）-2f（x）=0的特征方程为；r²+r-2=0，解得特征根为：r₁=-2，r₂=1

∴f″（x）+f'（x）-2f（x）=0的通解为：f(x)＝C1e−2x+C2ex，（C₁，C₂为两个常数）…①

又f'（x）+f（x）=2e^x，将①代入化简得：2C2ex−C1e−2x＝2ex

∴C₁=0，C₂=1

故：f（x）=e^x

（2）将f（x）=e^x代入得：

y＝

ex2∫x0e−t2dt

∴y′＝1+2x

ex2∫x0e−t2dt

y″＝2x+2(1+2x2)

ex2∫x0e−t2dt

令y″=0，得：x=0，而y又不存在二阶不可导点

∴x=0是y''=0的唯一解

又∵当x＞0时，2x＞0，2(1+2x2)

ex2∫x0e−t2dt＞0

∴y″＝2x+2(1+2x2)

ex2∫x0e−t2dt＞0；

当x＜0时，2x＜0，2(1+2x2)

ex2∫x0e−t2dt＜0

∴y″＝2x+2(1+2x2)

ex2∫x0e−t2dt＜0

∴x=0时，f（x）对应的点是曲线的拐点

而x=0时，y=0

∴（0，0）是y的拐点．

点评：

本题考点： 求函数图形的拐点．

考点点评： 此题需要用到的知识点除了常规的拐点求法，还有二阶常系数齐次线性微分方程的解法．如果对这两个方面都很熟悉，这个题目还是不难解出来的．