777……7=7*111……1
111……1=1+10+10^2+……+10^776
1001=13*77
所以1000≡-1(MOD13)
所以
111……1
=(1+10^3+10^6+……+10^774)
+10(1+10^3+10^6+……+10^774)
+100(1+10^3+10^6+……+10^774)
=111(1+10^3+10^6+……+10^774)
所以
777……7≡7*111(1+(-1)+(-1)^2+……+(-1)^258)≡7*111*1≡777≡10,(MOD13)
即这个数除以13的余数是10.