Question

已知平面上的动点Q到定点F（0，1）的距离与它到定直线y=3的距离相等．

Answer 1

解题思路：（1）设出Q的坐标，根据条件推断出x和y的关系式，化简求得x和y的关系，即曲线的方程．

（2）设出A，B，利用抛物线的定义，表示出|AF|和|BF|，进而利用|BF|=2|AF|，求得y₂和y₁的关系，令直线AB的方程x=t（y-1），与抛物线方程联立消去x，表示出y₁+y₂和y₁y₂，联立求得y₁和y₂，代入方程②求得t，进而求得t．则直线AB的方程可得．

（1）设Q（x，y），

由条件有

x2+(y−1)2=|y-3|，

化简得曲线C₁的方程为：x²=-4y+8．

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，

由|BF|=2|AF|，得y₂=2y₁+1①

令直线AB方程为x=t（y-1），代入抛物线方程，可得t²y²-（2t²+4）y+t²=0，

∴y₁+y₂=

2t2+4

t2②，y₁y₂=1③

由①和③联立解得：y₁=[1/2]，y₂=2

代入②得：t²=8

依题意直线AB的斜率大于0，即t＞0，

∴t=2

2

故直线AB的方程为x-2

2y+2

2=0．

点评：

本题考点： 轨迹方程．

考点点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了分析推理和基本的运算能力．