OA与OB总是垂直的,这是题目条件|OA+OB| = |OA-OB|的推论.
因为其平方得OA²+2OA·OB+OB² = OA²-2OA·OB+OB²,得OA·OB = 0,即OA与OB垂直.
由此可知AB中点是Rt△AOB的外接圆圆心.
而易见⊙C 以AB中点为圆心并经过O点,由此⊙C就是Rt△AOB的外接圆,故AB是⊙C的直径.
即证明了第一问.
第二问由A,B在抛物线y² = 2px上,有y₁² = 2px₁,y₂² = 2px₂,相乘得(y₁y₂)² = 4p²x₁x₂.
又OA·OB = 0即x₁x₂+y₁y₂ = 0,代入得(y₁y₂)² = -4p²y₁y₂.
而y₁y₂ = -x₁x₂ ≠ 0,故y₁y₂ = -4p².
于是((y₁+y₂)/2)² = (y₁²+y₂²+2y₁y₂)/4 = p(x₁+x₂)/2-2p²,
即圆心轨迹方程为y² = px-2p².
可求得其斜率为1/2的切线的切点为(3p,p),切线方程2y = x-p.
其与2y = x的距离为p/√5.
可知当且仅当p = 2时距离最小值为2√5/5.