三角形有四心：即内心、外心、重心、垂心.
内心：三个角的角平分线的交点,也是这个三角形内切圆的圆心,这个点就叫做三角形的内心.
题目解答如下：
∵D是△ABC的内心；E是△ABD的内心；F是△DBE的内心
∴∠BDE=1/2 ∠ADB,∠ADB=90°+1/2∠C
∠BED=90°+1/2∠BAD ,∠BFE=90°+1/2∠BDE ,
∴∠BFE=90°+1/2∠BDE
=90°+1/4∠ADB
=90°+1 /4（90°+1/2∠C）
=112.5°+1/8∠C,
∵∠BFE的度数为整数,
∴ 当∠C=172°时,∠BFE=134°最小
所以,答案为134°.