Question

已知：如图,AP平分∠BAC,PM⊥AC,PN⊥AB,M,N分别为垂足.连结MN,交AP于点H.求证：AP是MN的垂直平

Answer 1

(1)证明AM=AN即可

∠PMA=∠PNA=90°,∠PAM=∠PAN【1】

可得∠APM=∠APN【2】

AP=AP【3】

△PAM≌△PAN（ASA）

AM=AN

在△AMN中,因为AP是∠MAN平分线,所以AP垂直平分MN（等腰三角形三线合一）

(2)证明△AEC≌△BCD即可

∠A=∠B=∠ECD=90°,可得∠ACE与∠BCD互余,∠BCD与∠CDB互余

∠ACE=∠BDC【1】,同样∠AEC=∠BCD【2】

CD=CE【3】

△AEC≌△BCD（ASA）

所以AC=BD,BC=AE

所以AB=AC+BC=BD+AE