分析：
（1）若存在此区间,那么将值域的最大值和最小值两个点连线,那么该直线应该是Y=KX,其必定经过原点对吧?这个没问题吧?
（2）若（1）成立,那么再看h(x),顶点是当X=1/2的时候,取值7/8,也经过原点!
（3）y=kx和h(x)都经过原点~,一条直线会和抛物线有第三个交点么?答案是否定的,所以发现,零点必定是此区间之一的最大值和最小值之一
（4）下面就是画图了,把y=kx画出来,把h(x)=-½x²+x画出来,都经过原点,那OK,旋转直线y=kx,使其在h(x)=-½x²+x的单调增区间上（过了顶点的话最大值就不是交点了,而是顶点了,相信你可以想的通）有第二个交点,还得保证k≥1/2;,这时,所有旋转出来的点都是符合条件的,OVER~
以上,是我对此题的小小看法,至于结果,我并没有去深究,相信楼主也希望自己能亲手解决,我只是给个方向,你可以试试,当然如有错处还请见谅,毕竟离开学堂已久,难免生疏,最后祝楼主成绩越来越好~