Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，BC=CC1=AC=a

Answer 1

解题思路：（1）由正方体的几何特征，我们易证得AC⊥BC，AC⊥CC₁，由线面垂直的判定定理得AC⊥BCC₁B₁，进而AC⊥BC₁，结合BC₁⊥B₁C，和线面垂直的判定定理得到BC₁⊥平面AB₁C

（2）设BC₁∩B₁C=D，过D作DE⊥AB₁，则可得∠BED就是二面角B-AB₁-C的平面角，解Rt△BDE，即可求出二面角B-AB₁-C的大小

（3）根据V_A1-AB1C=V_C-A1AB1，我们分别求出三棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

证明：（1）由题意得，在正方形BCC₁B₁中，

BC₁⊥B₁C

又∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，AC⊥CC₁，

∴AC⊥BCC₁B₁，

∴AC⊥BC₁，

∴BC₁⊥平面AB₁C

（2）设BC₁∩B₁C=D，过D作DE⊥AB₁，

∴∠BED就是二面角B-AB₁-C的平面角

在Rt△BDE中，sin∠BED=[BD/BE]=

3

2

∴∠BED=[π/3]

故二面角B-AB₁-C的大小为[π/3]

（3）作CF⊥AB，垂足为F，

∵ABC-A₁B₁C₁直三棱柱，平面A₁AB⊥平面ABC

∴CF⊥平面A₁AB

∴CF的长就是点C到平面A₁AB的距离

∵V_A1-AB1C=V_C-A1AB1=[1/3]•S_A1AB1•CF=

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6a3（14分）

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱锥的体积公式，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是根据正方体的几何特征，完成线线垂直和线面垂直之间的反复转化；（2）的关键是证得∠BED就是二面角B-AB1-C的平面角，（3）的关键是利用等体积法将求求三棱锥A1-AB1C的体积转化为求三棱锥C-A1AB1的体积．