Question

线性代数问题已知n阶实对称阵A满足条件A^3-3A^2+3A-2E=0,证明2A^-1为正定矩阵

Answer 1

A^3-3A^2+3A-2E=0,

A^3-3A^2+3A=2E,

A(A^2-3A+3E)=2E,

A可逆,且2A^-1=A^2-3A+3E,是对称矩阵.

设f(x)=x^2-3x+3,设k是A的特征值,则k是实数,2A^-1的特征值是f(k)=k^2-3k+3=(k-3/2)^2+3/4＞0.所以2A^-1的特征值都是正数,所以2A^-1是对称正定矩阵.