Question

数列{an}满足：a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2nπ2）an+sin2[nπ/2]，n∈N+．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由已知结合a_n+2=（1+

cos

2

nπ

2

）a_n+sin²[nπ/2]，n∈N₊，得到当n=2k-1（k∈N₊）时，a_2k+1-a_2k-1=1．

当n=2k（k∈N₊）时，a_2k+2=2a_2k．然后分别利用等差数列和等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=

a

2n−1

a

2n

，利用错位相减法求出S_n=b₁+b₂+…+b_n，放缩证得S_n＜2（n∈N₊）．

（Ⅰ）∵a₁=1，a₂=2，

∴由题设递推关系式有a3＝(1+cos2

π

2)a1+sin2

π

2＝a1+1＝2，a4＝(1+cos2π)a1+sin2π＝2a2＝4．

一般地，当n=2k-1（k∈N₊）时，

a2k+1＝[1+cos2

(2k−1)π

2]a2k−1+sin2

(2k−1)π

2＝a2k−1+1，

即a_2k+1-a_2k-1=1．

∴数列{a_2k-1}是首项为1公差为1的等差数列，因此a_2k-1=k．

当n=2k（k∈N₊）时，

a2k+2＝[1+cos2

2kπ

2]a2k+sin2

2kπ

2＝2a2k，

∴数列{a_2k}是首项为2公比为2的等比数列，因此a2k＝2k．

故数列{a_n}的通项公式为an＝

n+1

2，(n＝2k−1，k∈N+)

2

n

2，(n＝2k，k∈N+)；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知bn＝

a2n−1

a2n＝

n

2n，

于是Sn＝

1

2+

2

22+

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查了等差关系和等比关系的确定，考查了错位相减法去数列的和，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．